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작성일 : 11-03-18 19:22
기하학 공식 <2 차원계, 3 차원계>
 글쓴이 : 관리자
조회 : 9,580  
   geometric.pdf (813.8K) [223] DATE : 2011-03-18 19:22:26


기하학 공식
 
<2 차원 계>

1. 가로 b와 세로 a의 직사각형
넓이 = a b
주변길이 = 2a + 2b
 
2. 높이 h와 바닥 b의 평행사변형 (변 길이 a,b)
넓이 = b h = a b sin θ
주변길이 = 2a + 2b 
 
3. 높이 h와 바닥 b의 삼각형 (변 길이 a,b,c)
넓이 = b h / 2 = a b sin(θ) / 2 = √{s (s-a) (s-b) (s-c)}
여기서 s = (a+b+c)/2 = 주변길이 절반
주변길이 = a+b+c 
 
4. 높이 h와 평행하는 가 변이 a, b인 사다리꼴
넓이 = h (a+b) / 2
주변길이 = a + b + h(1/sin(θ)+1/sin(φ)) = a+b+h(csc(θ)+csc(φ)) 
 
5. 각 변의 길이가 b인 정n각형
넓이 = n b2 cot(π/n) / 4 = n b2 cos(π/n) / {4 sin(π/n)}
주변길이 = n b
 
6. 반지름 r인 원
넓이 = π r2
주변길이 = 2 π r 
 
7. 반지름 r인 원의 부분
넓이 = r2 θ / 2 [θ in radian]
호 길이 s = r θ 
 
8. 각 변 길이 a, b, c인 삼각형에 내접하는 원의 반지름
r = √{s (s-a) (s-b) (s-c)}/s
여기서 s = (a+b+c)/2 = semiperimeter 

9. 각 변 길이 a, b, c인 삼각형에 외접하는 원의 반지름
R = abc / [4 √{s (s-a) (s-b) (s-c)}]
여기서 s = (a+b+c)/2 = semiperimeter 

10. 반지름 r인 원에 내접하는 정n각형
넓이 = n r2 sin(2π/n)/2 = n r2 sin(360o/n)/2
주변길이 = 2nr sin(π/n) = 2nr sin(180 o/n)
 
11. 반지름 r인 원에 외접하는 정n각형
넓이 = n r2 tan(π/n)
주변길이 = 2nr tan(π/n) 
 
12. 반지름 r인 원의 일부
넓이 = r2 (θ-sin(θ))/2 
 
13. 장축 반지름이 a이고 단축 반지름이 b인 타원
넓이 = π a b
주변길이 = 4a ∫0π/2 √(1-k2 sin2 (θ) d θ = 2 π √{(a2 + b2)/2} [approximately]
여기서 k=√(a2+b2)/a 
 
14. 포물선의 일부
넓이 = 2 a b / 3
호 길이 = √(b2+16a2)/2 + b2 ln[{4a+√(b2+16a2)}/b] / 8a 


<3 차원 계 >

1. 가로 a, 높이 b, 세로 c의 직육면체
부피 = abc
표면적 = 2(ab+ac+bc) 
 
2. 단면적 A와 높이 h의 평행6면체(각 변 길이 a,b,c)
부피 = Ah = abc sin(θ) 
 
3. 반지름 r의 구
부피 = 4 π r3 / 3
표면적 = 4 π r2 
 
4. 반지름 r과 높이 h의 원기둥
부피 = π r2 h
측면 표면적 = 2 π r h 
 
5. 반지름 r과 경사높이 l의 원기둥 (높이 h)
부피 = π r2 h = π r2 l sin(θ)
측면 표면적 = 2 π r l = 2 π r h/sin(θ) = 2 π r h csc(θ) 
 
6. 단면적 A와 경사높이 l의 원기둥
부피 = Ah = A l sin(θ)
측면 표면적 = p l = p h/sin(θ) = p h csc(θ)
여기서 p = 임의의 모양의 상부 또는 하부의 주변길이 
 
7. 반지름 r과 높이 h의 원뿔 (경사높이 l)
부피 = π r2 h/3
측면 표면적 = π r2 √(r2+h2) = π r l 
 
8. 바닥넓이 A와 높이 h의 피라미드
부피 = A h / 3 
 
9. 반지름 r과 높이 h의 구의 일부
부피 = π h2 (3r-h) / 3
표면적 = 2 π r h 
 
10. 반지름 a, b 그리고 높이 h의 원추대 (경사높이 l)
부피 = π h (a2 + ab + b2) / 3
측면 표면적 = π (a+b) √(h2 + (b-a)2) = π (a+b) l 
 
11. 반지름 r의 구 상의 각 a, b, c인 구면삼각형
삼각형 ABC의 넓이 = (A+B+C-π) r2 
 
12. 내경 a, 외경 b의 원환체(torus) (도너츠 모양)
부피 = π2 (a+b) (b-a)2 / 4
표면적 = π2 (b2-a2) 
 
13. 각 축 반지름 a,b,c의 타원체 (럭비공 모양)
부피 = 4 π a b c / 3 
 
14. 회전 포물면 (높이 a, 바닥 반지름 b, 우산 모양)
부피 = π b2 a / 2